代数基本定理，也称为代数闭域定理，是代数学中的一个核心定理，它描述了复系数多项式方程的根的性质。该定理断言，任何非零的一元n次复系数多项式方程在复数域上至少有一个复数根，并且实际上在复数域内有且仅有n个复数根，这些根的重数也一并计算在内。
这个定理的重要性在于它为研究多项式方程的根提供了一个强有力的工具，并且是许多数学领域，包括复分析、抽象代数和数论的基础。代数基本定理的一个关键推论是，任何复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积，这意味着n次多项式方程恰好有n个根（计算重数）。
尽管代数基本定理在数学中有着广泛的应用，但它并没有一个纯粹的代数证明。许多数学家认为，这样的证明是不存在的，因为代数基本定理的某些证明依赖于实系数多项式有复数根这一事实，而这本身就需要复数域的代数封闭性，这是一个更强的结论。
代数基本定理的证明方法多种多样，已知的证明方法超过200种。这些证明通常涉及复杂的数学技巧，包括对多项式进行因式分解、应用解析函数理论以及利用群论和域论的概念。尽管证明方法众多，但代数基本定理在数学教育中仍然是一个重要的里程碑，因为它连接了代数方程的解与复数的性质。