伽玛分布是一种 连续概率分布，常用于模拟非负随机变量，例如时间直到某个事件发生、某些资源的消耗量等。它具有两个参数：形状参数（shape parameter）和尺度参数（scale parameter），分别记为α和β。伽玛分布的概率密度函数（PDF）为：
$$f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}, \quad x > 0$$
其中，$\Gamma（\alpha）$ 是伽马函数。
伽玛分布的期望（均值）和方差分别为：
$$E(X) = \frac{\alpha}{\beta}$$
$$\text{Var}(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}$$
伽玛分布的一个重要特性是其可加性，即如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是相互独立且都服从伽玛分布的随机变量，那么它们的和 $X_1 + X_2 + \ldots + X_n$ 也服从伽玛分布，且其形状参数为 $\alpha_i$ 的和，尺度参数为 $\beta$ 的和。
伽玛分布的矩母函数（moment generating function）为：
$$M_X(t) = E(e^{tX}) = \frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\beta^{\alpha}} t^{-\alpha} e^{\frac{\alpha}{\beta} t}$$
伽玛分布在许多领域都有广泛应用，例如可靠性工程、排队论、金融、信号处理、通信和网络等。它可以帮助分析等待时间、物品寿命、网络流量、投资决策等。
伽玛分布的应用
可靠性工程：
伽玛分布常用于建模和预测产品的故障率和寿命。
排队论：
在排队论中，伽玛分布用于描述顾客到达和服务时间等。
金融：
伽玛分布用于股票价格的预测和投资决策。
信号处理：
在信号处理中，伽玛分布用于建模信号的脉冲形状。
通信：
在通信中，伽玛分布用于分析网络流量和拥塞情况。
伽玛分布的参数估计
伽玛分布的参数α和β通常通过最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）来估计。给定一组观测数据 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，α和β的MLE估计值分别为：
$$\hat{\alpha} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \log x_i}$$
$$\hat{\beta} = \frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log x_i}$$
其中，$n$ 是观测数据的数量。
伽玛分布的链接函数
在伽玛回归中，通常使用对数线性模型，即将响应变量的自然对数与自变量线性相关。这种转换使得模型可以处理响应变量的非负性。常用的链接函数包括自然对数和倒数。
伽玛分布的矩
伽玛分布的前几阶矩分别为：
一阶矩（均值）：
$E（X） = \frac{\alpha}{\beta}$
二阶矩：
$E（X^2） = \frac{\alpha（\alpha + 1）}{\beta^2}$
三阶矩：
$E（X^3） = \frac{\alpha（\alpha + 1）（\alpha + 2）}{\beta^3}$
这些矩可以帮助我们更好地理解伽玛分布的性质和进行统计推断。