拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理，其核心内容、证明方法及应用如下：
一、定理内容
若函数 $f（x）$ 满足：
1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
2. 在开区间 $（a, b）$ 内可导；
则至少存在一点 $\xi \in （a, b）$，使得
$$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
即函数在区间 $[a, b]$ 上的平均变化率等于区间内某点的瞬时变化率。
二、几何意义
该定理的几何意义是：在曲线 $y = f（x）$ 上，至少存在一点 $\xi$，使得该点的切线斜率等于连接区间端点 $（a, f（a））$ 和 $（b, f（b））$ 的弦的斜率。
三、证明方法（以柯西中值定理为基础）
辅助函数构造：
定义函数 $F（x） = f（x） - \left（ \frac{f（b） - f（a）}{b - a} \right） x$。
导数计算：
- $F（a） = f（a） - \frac{f（b） - f（a）}{b - a} \cdot a$
- $F（b） = f（b） - \frac{f（b） - f（a）}{b - a} \cdot b$
计算得 $F（a） = F（b）$，即 $F（x）$ 在 $[a, b]$ 上满足罗尔定理条件。
应用罗尔定理：
存在 $\xi \in （a, b）$，使得 $F'（\xi） = 0$。 计算 $F'（x） = f'（x） - \frac{f（b） - f（a）}{b - a}$，得 $f'（\xi） = \frac{f（b） - f（a）}{b - a}$。
四、重要性质
推广性：
是罗尔中值定理的推广，罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例（当 $f（a） = f（b）$ 时）。
泰勒公式的弱形式：
拉格朗日中值定理是泰勒公式一阶展开的几何解释，属于微分学中的基本工具。
五、应用场景
导数应用：用于证明导数的介值定理、柯西中值定理等。
极限与导数结合：例如证明某些三角函数极限问题时，可通过构造辅助函数应用中值定理。
高考题型：常用于导数证明、参数范围求解、不等式证明等压轴题型。
六、补充说明
若函数在区间端点处导数不存在，但满足介值定理条件，也可通过类似方法证明中值定理。
以上内容综合了定理的表述、证明思路及典型应用，涵盖微积分核心概念。