完全平方公式是代数运算中非常重要的基础公式，主要用于展开和因式分解。其核心内容如下：
一、基本公式
两数和的平方
$（a + b）^2 = a^2 + 2ab + b^2$
口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
两数差的平方
$（a - b）^2 = a^2 - 2ab + b^2$
口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央（负号添在异号前）。
二、公式变形
移项变形
- $a^2 + b^2 = （a + b）^2 - 2ab$
- $2ab = （a + b）^2 - （a^2 + b^2）$
适用于已知两项求第三项。
平方差转化
- $（a + b）^2 = （a - b）^2 + 4ab$
- $（a - b）^2 = （a + b）^2 - 4ab$
- $（a + b）^2 - （a - b）^2 = 4ab$
- $（a + b）^2 + （a - b）^2 = 2（a^2 + b^2）$
适用于已知两项求第三项。
三、扩展公式
三项立方公式
$（a \pm b）^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$。
三项和公式
$（a + b + c）^3 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$。
四、应用场景
因式分解
例如：$x^2 + 6x + 9 = （x + 3）^2$（符合$a^2 + 2ab + b^2$形式）。
不等式证明
例如：证明$x^2 + 4x + 4 \geq 0$，可化为$（x + 2）^2 \geq 0$。
几何证明
通过几何图形（如正方形划分）直观理解公式。
五、注意事项
公式仅适用于两个相同二项式的平方，需注意符号变化规则。
积的一次项系数需根据符号确定（同号加、异号减）。
完全平方公式是代数运算与因式分解的基石，建议通过多例练习巩固其应用。