特征向量是线性代数和矩阵理论中的一个核心概念，具有多种应用，特别是在人工智能和数据分析领域。
定义
对于一个给定的线性变换 $A$，如果存在一个非零向量 $v$ 和一个标量 $\lambda$，使得 $Av = \lambda v$，那么这个向量 $v$ 就被称为矩阵 $A$ 的特征向量，而 $\lambda$ 被称为对应的特征值。
性质
方向不变性：
特征向量的方向在变换 $A$ 下保持不变。
长度变化：
特征向量在变换 $A$ 下缩放的比例称为其特征值 $\lambda$，即 $Av = \lambda v$，特征向量的长度会按照特征值的比例变化。
正交性：
对于两个不同的特征值对应的特征向量，它们之间是正交的，即它们的内积为0。
相似矩阵：
如果两个矩阵有相同的特征值，那么这两个矩阵就是相似的，相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量可能不同。
应用
降维分析：
通过选取特征值最高的 $k$ 个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析的目的。
图像压缩：
K-L变换等图像压缩技术利用特征向量来减少数据的维度。
人脸识别：
在人脸识别等计算机视觉应用中，特征向量用于识别和比较人脸。
数据流模式挖掘：
特征向量用于分析和比较数据流中的模式。
力学：
在力学中，特征向量定义了刚体的主轴。
计算
求特征值：
首先求解特征方程 $\det（A - \lambda I） = 0$，其中 $I$ 是单位矩阵，$\det$ 表示行列式。
求特征向量：
将求得的特征值 $\lambda$ 代入方程 $（A - \lambda I）v = 0$，解出特征向量 $v$。
总结
特征向量是数学和计算机科学中一个非常重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。通过理解和利用特征向量的性质，可以有效地解决许多实际问题，如降维、图像处理、数据挖掘等。