反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$）中比例系数$k$的几何意义主要体现在以下几个方面：
一、矩形面积关系
矩形面积恒定
过反比例函数图象上任一点$P（x, y）$作$x$轴、$y$轴的垂线，垂足分别为$M$、$N$，则矩形$PMON$的面积$S = PM \cdot PN = |x| \cdot |y| = |xy| = |k|$。这一性质表明，无论点$P$在双曲线的哪个象限，所围成矩形的面积始终为常数$|k|$。
面积与$k$的关系
- 当$k > 0$时，矩形位于第一、三象限；
- 当$k < 0$时，矩形位于第二、四象限。
二、三角形面积关系
三角形面积公式
以原点$O$为顶点，点$P（x, y）$为顶点的三角形$\triangle OPA$的面积为$S = \frac{1}{2} |k|$。这一结论通过将三角形面积公式$S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$与矩形面积公式结合推导得出。
三、其他几何性质
渐近行为
反比例函数图象以原点为中心对称，且无限接近$x$轴和$y$轴，但永不与坐标轴相交（$x \neq 0$，$y \neq 0$）。
实际应用
比例系数$k$的几何意义可类比于物理中的反比例关系，例如：
- 电阻$R$与电流$I$的关系$R = \frac{k}{I}$（$k$为常数）；
- 速度$v$与时间$t$的关系$v = \frac{k}{t}$（$k$为路程）。
四、解题应用示例
已知反比例函数图象上一点$A$作坐标轴垂线所围成矩形面积为$6$，求函数解析式。
设$A（x, y）$，则$|xy| = 6$，即$|k| = 6$；
因为未指定象限，故函数解析式为$y = \frac{6}{x}$或$y = -\frac{6}{x}$。
通过以上几何意义，可以快速解决与面积、比例相关的反比例函数问题，避免代数计算。