二次函数顶点坐标的公式及相关性质如下：
一、顶点坐标公式
对于二次函数的标准式 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$），其顶点坐标为：
$$
\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)
$$
推导过程（配方法）：
1. 提取系数 $a$：$y = a \left（ x^2 + \frac{b}{a}x \right） + c$
2. 配方：$y = a \left（ x + \frac{b}{2a} \right）^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
3. 整理得顶点式：$y = a \left（ x - \left（ -\frac{b}{2a} \right） \right）^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
从而顶点坐标为 $\left（ -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right）$。
二、对称轴
二次函数的对称轴为直线 $x = -\frac{b}{2a}$，该直线通过顶点且垂直于 $x$ 轴。
三、顶点位置特征
开口方向 ：
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，顶点为最小值点；
当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下，顶点为最大值点。
最值
顶点的纵坐标 $k = \frac{4ac - b^2}{4a}$ 即为函数的最值。
四、应用示例
对于函数 $y = 2x^2 - 4x + 1$：
$a = 2$，$b = -4$，$c = 1$
顶点坐标：$x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1$，$y = 2 \times 1^2 - 4 \times 1 + 1 = -1$
对称轴：$x = 1$，最小值为 $-1$。
五、其他形式与顶点坐标
顶点式：
$y = a（x - h）^2 + k$，顶点坐标为 $（h, k）$；
交点式：
$y = a（x - x_1）（x - x_2）$，顶点坐标为 $\left（ \frac{x_1 + x_2}{2}, a \left（ \frac{x_1 - x_2}{2} \right）^2 + c \right）$。
以上内容综合了二次函数的标准式、顶点式及交点式，涵盖顶点坐标的计算、对称轴、开口方向及最值等核心性质。