韦达定理是关于一元二次方程根与系数关系的定理，由法国数学家弗朗索瓦·韦达提出。对于标准形式的一元二次方程：
$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$
若方程的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则韦达定理给出了根与系数之间的如下关系：
根的和
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
该式表明，方程的两个根之和等于一次项系数取相反数后除以二次项系数。
根的积
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
该式表明，方程的两个根之积等于常数项除以二次项系数。
补充说明
根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 决定方程根的性质：
$\Delta > 0$：两个不等实根
$\Delta = 0$：两个相等实根
$\Delta < 0$：两个共轭虚根
韦达定理可推广至高次方程，例如：
根的和：$\sum_{i=1}^n X_i = -\frac{A_{n-1}}{A_n}$
根的积：$\prod_{i=1}^n X_i = （-1）^n \frac{A_0}{A_n}$
应用示例
若已知方程 $2x^2 - 5x + 3 = 0$，其根为 $x_1$ 和 $x_2$，则：
$x_1 + x_2 = \frac{5}{2}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}$
韦达定理在代数方程求解、对称函数构建及二次曲线分析中具有广泛的应用价值。