指数分布是一种常见的连续型概率分布，通常用于描述事件之间的时间间隔。假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $X \sim \text{Exp}（\lambda）$，其概率密度函数 （PDF） 为：
$$f(x) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
0 & x < 0
\end{cases}$$
期望 （Expectation）
指数分布的期望值 $E（X）$ 可以通过以下公式计算：
$$E(X) = \frac{1}{\lambda}$$
方差 （Variance）
指数分布的方差 $\text{Var}（X）$ 也可以通过以下公式计算：
$$\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$$
解释
期望：期望值 $E（X）$ 表示随机变量 $X$ 的平均值。对于指数分布，这意味着如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时（即期望值为 $\frac{1}{2}$ 小时）。
方差：方差 $\text{Var}（X）$ 表示随机变量 $X$ 与其期望值之间的偏离程度。对于指数分布，这意味着电话到达的时间间隔的离散程度。
例子
假设你有一个参数为 $\lambda = 0.5$ 的指数分布，那么：
期望值 $E（X） = \frac{1}{0.5} = 2$ 小时
方差 $\text{Var}（X） = \frac{1}{（0.5）^2} = 4$ 小时²
这意味着在平均情况下，两次电话之间的时间间隔是2小时，且这个时间间隔的离散程度（即波动性）是4小时²。
结论
指数分布的期望和方差分别为 $\frac{1}{\lambda}$ 和 $\frac{1}{\lambda^2}$，其中 $\lambda$ 是分布的参数。这些公式可以帮助你理解和分析指数分布的随机性和波动性。