计算机图形方面怎么变换

在计算机图形学中，图形变换是通过对图形的顶点坐标应用数学操作来实现的，这些操作可以改变图形的位置、形状和大小。以下是一些基本的二维和三维变换方法及其数学原理：

二维变换

缩放变换

定义：将图形在x轴和y轴方向上分别按比例缩放。

数学表达式

\[

\begin{bmatrix}

x' \\

y' \\

1

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

S_x & 0 & 0 \\

0 & S_y & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

1

\end{bmatrix}

\]

其中，\（ S_x \） 和 \（ S_y \） 分别是x轴和y轴方向的缩放因子。

镜像变换（反射变换）

定义：关于某条轴（例如y轴）进行镜像。

数学表达式

\[

\begin{bmatrix}

x' \\

y' \\

1

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

-1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

1

\end{bmatrix}

\quad \text{或} \quad

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\]

其中，第一个矩阵表示关于y轴镜像，第二个矩阵表示关于x轴镜像。

剪切变换

定义：沿着某条直线（例如x轴）剪切图形的一部分。

数学表达式

\[

\begin{bmatrix}

x' \\

y' \\

1

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

1 & a & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

1

\end{bmatrix}

\]

其中，a是x轴方向的剪切距离。

旋转变换

定义：绕原点逆时针旋转一定角度。

数学表达式

\[

\begin{bmatrix}

x' \\

y' \\

1

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\

\sin \theta & \cos \theta & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

1

\end{bmatrix}

\]

其中，θ是旋转角度。

平移变换

定义：将图形沿x轴和y轴分别移动一定距离。

数学表达式

\[

\begin{bmatrix}

x' \\

y' \\

1

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

1 & 0 & tx \\

0 & 1 & ty \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

1

\end{bmatrix}

\]

其中，tx和ty分别是x轴和y轴方向的平移距离。

三维变换

缩放变换

定义：在x轴、y轴和z轴方向上分别按比例缩放。

数学表达式

\[

\begin{bmatrix}

x' \\

y' \\

z' \\

1

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

S_x &