伯努利微分方程是数学中一类具有特定形式的非线性微分方程，其形式为：
$$y' + P(x)y = Q(x)y^n$$
其中，$P（x）$ 和 $Q（x）$ 是已知函数，且 $n \neq 0$ 且 $n \neq 1$。
一、核心特点
非线性形式：
由于 $n \neq 0$ 且 $n \neq 1$，方程中 $y$ 的次数不为1，因此属于非线性微分方程。
可转换性：
通过变量代换可化为线性方程，简化求解过程。
二、解法步骤
变量代换 将方程两边同时除以 $y^n$，得到：
$$y^{-n}y' + (1-n)P(x)y^{1-n} = Q(x)$$
令 $z = y^{1-n}$，则 $z' = （1-n）y^{-n}y'$，代入上式后方程化为：
$$z' + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$$
这是一个标准的一阶线性微分方程。
求解线性方程
使用一阶线性微分方程的通解公式：
$$z = e^{-\int (1-n)P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int (1-n)P(x)dx}dx + C \right)$$
其中 $C$ 为积分常数。
回代求解原方程
将 $z = y^{1-n}$ 代回，得到原方程的通解：
$$y = \left( \int Q(x)e^{\int (1-n)P(x)dx}dx + C \right)^{\frac{1}{1-n}}$$。
三、应用领域
伯努利方程在物理学中常用于描述流体动力学问题，例如：
流体力学：
描述恒压流体流量与压力、密度和粘度的关系，公式为：
$$\frac{dp}{dx} = -\rho \frac{dp}{dx} + \mu \frac{d^2x}{dx^2}$$
其中 $p$ 为压力，$\rho$ 为密度，$\mu$ 为粘度，$x$ 为流动距离。
四、注意事项
当 $n=0$ 时，方程退化为线性方程；当 $n=1$ 时，方程为可分离变量方程。
实际应用中需注意物理意义和边界条件，例如密度 $\rho$ 和粘度 $\mu$ 的取值范围。
通过上述方法，伯努利微分方程的求解过程可转化为较为简单的线性方程，从而提高计算效率。