鸽巢原理（Pigeonhole Principle）是组合数学中的基本原理，由德国数学家狄利克雷于1834年提出。其核心思想是：当物体数量超过容器数量时，至少有一个容器会包含多于一个物体。以下是详细说明：
一、基本形式
简单形式 如果将 $n+1$ 个物体放入 $n$ 个容器中，那么至少有一个容器包含两个或更多的物体。 例如：4个苹果放入3个抽屉，总有一个抽屉至少有2个苹果。
一般形式
如果将 $m$ 个物体放入 $n$ 个容器中，且 $m > n$，则至少有一个容器包含 $\lceil \frac{m}{n} \rceil$ 个物体。 例如：47只鸽子飞回8个鸽笼，至少有 $\lceil \frac{47}{8} \rceil = 6$ 只鸽子飞进同一个鸽笼。
二、数学表达
基础公式： $n = （r - 1）m + 1$ 或 $r = \lceil \frac{n}{m} \rceil$ 其中 $n$ 为物体数量，$m$ 为容器数量，$r$ 为容器中最多物体数量。 三、应用场景组合数学
用于证明存在性问题，例如：在13个人中，至少有2个人属相相同（12个属相）。
密码学与数论
证明某些数的整除性质，例如：存在一个数是 $n$ 的倍数且十进制表示仅含0和1。
实际问题
- 摸球问题：要保证摸出同色球，至少需摸 $k+1$ 个球（颜色数为 $k$）。
- 资源分配：当任务数超过人员数时，至少有部分人员需承担多项任务。
四、证明思路
反证法： 假设每个容器最多含一个物体，则物体总数最多为 $n$，与 $m > n$ 矛盾。 极端情况
五、扩展形式
多容器多物体：若将 $Q_1 + Q_2 + \cdots + Q_n - n + 1$ 个物体放入 $n$ 个容器中，则至少有一个容器包含 $Q_i$ 个物体。
鸽巢原理通过简单直观的逻辑，揭示了数量关系中的必然性，在数学及实际问题中具有广泛的应用价值。