等比数列的前n项和公式是数学中的重要内容，以下是综合整理后的公式及关键信息：
一、公式表达式
$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$
当公比 $q = 1$ 时，数列退化为等差数列，此时：
$$S_n = na_1$$
二、公式推导过程
通项公式：
$a_n = a_1 q^{n-1}$
前n项和：
$S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}$
乘以公比q：
$qS_n = a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^n$
作差法：
$$S_n - qS_n = a_1 - a_1 q^n$$
$$S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)$$
整理得：
$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$
三、重要性质
等比中项：
若 $m, n \in \mathbb{N}^+$ 且 $m + n = 2p$，则 $a_m \cdot a_n = a_p^2$
间隔项性质：
数列中依次每k项之和仍成等比数列，例如 $a_{2n}, a_{3n}$ 仍为等比数列
求和极限：
当 $|q| < 1$ 时，$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$
四、应用示例
国际象棋麦粒问题：每格麦粒数是前一格的2倍，前64格麦粒总数为 $S_{64} = a_1（2^{64} - 1）$
实际应用：金融复利计算、人口增长模型等场景
五、注意事项
公式仅适用于公比 $q \neq 1$ 的情况，若 $q = 1$ 需使用特殊公式
推导过程中需注意分母不为零，即 $q \neq 1$
通过以上公式及性质，可高效计算等比数列的前n项和，并解决相关数学问题。